Integral de x^2*dx*(x^3+2)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{10} + 4 u^{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{10}\, du = 2 \int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{11}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{4}\, du = 4 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{5}}{5}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{11}}{11} + \frac{4 u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} \left(x^{3} + 2\right)}{\sqrt{x}} = x^{\frac{9}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{9}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{\frac{3}{2}}\, dx = 2 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \left(5 x^{3} + 22\right)}{55}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \left(5 x^{3} + 22\right)}{55}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \left(5 x^{3} + 22\right)}{55}+ \mathrm{constant}$