Integral de sin(2*x)/sqrt(1+cos(2*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}}\, du}{2}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)} + 1$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{\cos{\left(u \right)} + 1}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos{\left(2 x \right)} + 1}} = \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}\, dx}{2}$

         1. que $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sqrt{2} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$