Integral de dx/sqrt^3(2-x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{2 - x}\right)^{9}} = \frac{1}{x^{4} \sqrt{2 - x} - 8 x^{3} \sqrt{2 - x} + 24 x^{2} \sqrt{2 - x} - 32 x \sqrt{2 - x} + 16 \sqrt{2 - x}}$

   2. que $u = \sqrt{2 - x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{2 - x}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48}\, du = - 2 \int \frac{1}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48} = \frac{1}{u^{8}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{7 u^{7}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{7 \left(2 - x\right)^{\frac{7}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(\sqrt{2 - x}\right)^{9}} = \frac{1}{x^{4} \sqrt{2 - x} - 8 x^{3} \sqrt{2 - x} + 24 x^{2} \sqrt{2 - x} - 32 x \sqrt{2 - x} + 16 \sqrt{2 - x}}$

   2. que $u = \sqrt{2 - x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{2 - x}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48}\, du = - 2 \int \frac{1}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{32 u^{2} + \left(2 - u^{2}\right)^{4} - 8 \left(2 - u^{2}\right)^{3} + 24 \left(2 - u^{2}\right)^{2} - 48} = \frac{1}{u^{8}}$

         2. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{7 u^{7}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{7 \left(2 - x\right)^{\frac{7}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2}{7 \left(2 - x\right)^{\frac{7}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2}{7 \left(2 - x\right)^{\frac{7}{2}}}+ \mathrm{constant}$