Integral de cos(5x)sin(4x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = - 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 80 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{8} - u^{6}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            El resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            El resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{128 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 160 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

            El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 32 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 80 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 80 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $16 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 20 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$