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Resolución de integrales/ sinx*cos(6*x)*dx

Integral de sinx*cos(6*x)*dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |  sin(x)*cos(6*x) dx
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0
∫01sin⁡(x)cos⁡(6x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)*cos(6*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(x)cos⁡(6x)=32sin⁡(x)cos⁡6(x)−48sin⁡(x)cos⁡4(x)+18sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(6 x \right)} = 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 48 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 18 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫32sin⁡(x)cos⁡6(x) dx=32∫sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

      Por lo tanto, el resultado es: −32cos⁡7(x)7- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−48sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−48∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- 48 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 48 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 48cos⁡5(x)5\frac{48 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫18sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=18∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int 18 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 18 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡3(x)- 6 \cos^{3}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

    El resultado es: −32cos⁡7(x)7+48cos⁡5(x)5−6cos⁡3(x)+cos⁡(x)- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{48 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (−160cos⁡6(x)+336cos⁡4(x)−210cos⁡2(x)+35)cos⁡(x)35\frac{\left(- 160 \cos^{6}{\left(x \right)} + 336 \cos^{4}{\left(x \right)} - 210 \cos^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \cos{\left(x \right)}}{35}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−160cos⁡6(x)+336cos⁡4(x)−210cos⁡2(x)+35)cos⁡(x)35+constant\frac{\left(- 160 \cos^{6}{\left(x \right)} + 336 \cos^{4}{\left(x \right)} - 210 \cos^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \cos{\left(x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−160cos⁡6(x)+336cos⁡4(x)−210cos⁡2(x)+35)cos⁡(x)35+constant\frac{\left(- 160 \cos^{6}{\left(x \right)} + 336 \cos^{4}{\left(x \right)} - 210 \cos^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \cos{\left(x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           7            5            
 |                               3      32*cos (x)   48*cos (x)         
 | sin(x)*cos(6*x) dx = C - 6*cos (x) - ---------- + ---------- + cos(x)
 |                                          7            5              
/
∫sin⁡(x)cos⁡(6x) dx=C−32cos⁡7(x)7+48cos⁡5(x)5−6cos⁡3(x)+cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx = C - \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{48 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1    cos(1)*cos(6)   6*sin(1)*sin(6)
- -- + ------------- + ---------------
  35         35               35
6sin⁡(1)sin⁡(6)35−135+cos⁡(1)cos⁡(6)35\frac{6 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(6 \right)}}{35} - \frac{1}{35} + \frac{\cos{\left(1 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{35} 
=
= 
  1    cos(1)*cos(6)   6*sin(1)*sin(6)
- -- + ------------- + ---------------
  35         35               35
6sin⁡(1)sin⁡(6)35−135+cos⁡(1)cos⁡(6)35\frac{6 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(6 \right)}}{35} - \frac{1}{35} + \frac{\cos{\left(1 \right)} \cos{\left(6 \right)}}{35} 
-1/35 + cos(1)*cos(6)/35 + 6*sin(1)*sin(6)/35
Respuesta numérica [src] 
-0.0540553710496277
-0.0540553710496277

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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