Integral de sinx*cos(6*x)*dx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(6 x \right)} = 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 48 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 18 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 48 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 48 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{48 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 18 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 18 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 6 \cos^{3}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(x \right)}$

   El resultado es: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{48 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - 6 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(- 160 \cos^{6}{\left(x \right)} + 336 \cos^{4}{\left(x \right)} - 210 \cos^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \cos{\left(x \right)}}{35}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(- 160 \cos^{6}{\left(x \right)} + 336 \cos^{4}{\left(x \right)} - 210 \cos^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \cos{\left(x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 160 \cos^{6}{\left(x \right)} + 336 \cos^{4}{\left(x \right)} - 210 \cos^{2}{\left(x \right)} + 35\right) \cos{\left(x \right)}}{35}+ \mathrm{constant}$