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Resolución de integrales/ cos(pi*x/4)/ x^3*cos(pi*x/4)

Integral de x^3*cos(pi*x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |   3    /pi*x\   
 |  x *cos|----| dx
 |        \ 4  /   
 |                 
/                  
-1
∫−11x3cos⁡(πx4) dx\int\limits_{-1}^{1} x^{3} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx 
Integral(x^3*cos((pi*x)/4), (x, -1, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

      Luego que du=πdx4du = \frac{\pi dx}{4} y ponemos 4duπ\frac{4 du}{\pi}:

      ∫4cos⁡(u)π du\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)π\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4sin⁡(πx4)π\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=12x2πu{\left(x \right)} = \frac{12 x^{2}}{\pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=24xπ\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{24 x}{\pi}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

      Luego que du=πdx4du = \frac{\pi dx}{4} y ponemos 4duπ\frac{4 du}{\pi}:

      ∫4sin⁡(u)π du\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)π- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −4cos⁡(πx4)π- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−96xπ2u{\left(x \right)} = - \frac{96 x}{\pi^{2}} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−96π2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{96}{\pi^{2}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

      Luego que du=πdx4du = \frac{\pi dx}{4} y ponemos 4duπ\frac{4 du}{\pi}:

      ∫4cos⁡(u)π du\int \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=4∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4sin⁡(u)π\frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      4sin⁡(πx4)π\frac{4 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−384sin⁡(πx4)π3) dx=−384∫sin⁡(πx4) dxπ3\int \left(- \frac{384 \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}}\right)\, dx = - \frac{384 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx}{\pi^{3}}

    1. que u=πx4u = \frac{\pi x}{4}.

      Luego que du=πdx4du = \frac{\pi dx}{4} y ponemos 4duπ\frac{4 du}{\pi}:

      ∫4sin⁡(u)π du\int \frac{4 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=4∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{4 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(u)π- \frac{4 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −4cos⁡(πx4)π- \frac{4 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi}

    Por lo tanto, el resultado es: 1536cos⁡(πx4)π4\frac{1536 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{4}}

  5. Ahora simplificar:

    4(π3x3sin⁡(πx4)+12π2x2cos⁡(πx4)−96πxsin⁡(πx4)−384cos⁡(πx4))π4\frac{4 \left(\pi^{3} x^{3} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 12 \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 96 \pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 384 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{4}}

  6. Añadimos la constante de integración:

    4(π3x3sin⁡(πx4)+12π2x2cos⁡(πx4)−96πxsin⁡(πx4)−384cos⁡(πx4))π4+constant\frac{4 \left(\pi^{3} x^{3} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 12 \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 96 \pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 384 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4(π3x3sin⁡(πx4)+12π2x2cos⁡(πx4)−96πxsin⁡(πx4)−384cos⁡(πx4))π4+constant\frac{4 \left(\pi^{3} x^{3} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} + 12 \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 96 \pi x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)} - 384 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\right)}{\pi^{4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              /pi*x\            /pi*x\      3    /pi*x\       2    /pi*x\
 |                       1536*cos|----|   384*x*sin|----|   4*x *sin|----|   48*x *cos|----|
 |  3    /pi*x\                  \ 4  /            \ 4  /           \ 4  /            \ 4  /
 | x *cos|----| dx = C - -------------- - --------------- + -------------- + ---------------
 |       \ 4  /                 4                 3               pi                 2      
 |                            pi                pi                                 pi       
/
∫x3cos⁡(πx4) dx=C+4x3sin⁡(πx4)π+48x2cos⁡(πx4)π2−384xsin⁡(πx4)π3−1536cos⁡(πx4)π4\int x^{3} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}\, dx = C + \frac{4 x^{3} \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi} + \frac{48 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{384 x \sin{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{3}} - \frac{1536 \cos{\left(\frac{\pi x}{4} \right)}}{\pi^{4}}
Simplificar
Gráfica
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.8-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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