Integral de (sin(x)-pi/(sqrt(1-sqr(x)))-((1/2)^x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\pi}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \pi \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=1, substep=ConstantRule(constant=1, context=1, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=1/(sqrt(1 - x**2)), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \pi \left(\begin{cases} \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}\right)$

      El resultado es: $- \pi \left(\begin{cases} \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}\right) - \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)\, dx = - \int \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 2^{- x}$

      2. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- 2^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \int 2^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

   El resultado es: $- \pi \left(\begin{cases} \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}\right) - \cos{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - \cos{\left(x \right)} - \pi \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - \cos{\left(x \right)} - \pi \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - \cos{\left(x \right)} - \pi \operatorname{asin}{\left(x \right)} + \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$