Integral de (3+2(sinx-cosx)) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = 2 \int \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   El resultado es: $3 x - 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $3 x - 2 \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 x - 2 \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x - 2 \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$