Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - \cosh{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - \cosh{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - \cosh{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \sinh{\left(x \right)}}{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} - \sinh{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sin{\left(x \right)} - \sinh{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - \cosh{\left(x \right)}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} - \cosh{\left(x \right)}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)