Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(8 \sqrt{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(8 \sqrt{x} \right)}}{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(8 \sqrt{x} \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x} \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 8$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 8$$
=
$$8$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)