Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- cos(pi*sin(pi*x/ dos)/ dos)/sin(pi^ dos *(uno -x)*tan(pi*x/ dos))
- coseno de ( número pi multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2) dividir por 2) dividir por seno de ( número pi al cuadrado multiplicar por (1 menos x) multiplicar por tangente de ( número pi multiplicar por x dividir por 2))
- coseno de ( número pi multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos) dividir por dos) dividir por seno de ( número pi en el grado dos multiplicar por (uno menos x) multiplicar por tangente de ( número pi multiplicar por x dividir por dos))
- cos(pi*sin(pi*x/2)/2)/sin(pi2*(1-x)*tan(pi*x/2))
- cospi*sinpi*x/2/2/sinpi2*1-x*tanpi*x/2
- cos(pi*sin(pi*x/2)/2)/sin(pi²*(1-x)*tan(pi*x/2))
- cos(pi*sin(pi*x/2)/2)/sin(pi en el grado 2*(1-x)*tan(pi*x/2))
- cos(pisin(pix/2)/2)/sin(pi^2(1-x)tan(pix/2))
- cos(pisin(pix/2)/2)/sin(pi2(1-x)tan(pix/2))
- cospisinpix/2/2/sinpi21-xtanpix/2
- cospisinpix/2/2/sinpi^21-xtanpix/2
- cos(pi*sin(pi*x dividir por 2) dividir por 2) dividir por sin(pi^2*(1-x)*tan(pi*x dividir por 2))
-
Expresiones semejantes
- cos(pi*sin(pi*x/2)/2)/sin(pi^2*(1+x)*tan(pi*x/2))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)
- cos(x)*tan(5*x)
- cos(3*x)/cos(x)
- cos(a*x)
- cos(x)^(cot(2*x)/sin(3*x))
- Número Pi pi
- pi*x/3
- pi/3
- pi/cos(2*pi*x)
- pi/2-x*atan(x/(2-x^2))/(-1+x)
- pi-x*tan(x/2)
- Seno sin
- sin(2*x)/sin(3*x)
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(a*x)/sin(b*x)
- Número Pi pi
- pi*x/3
- pi/3
- pi/cos(2*pi*x)
- pi/2-x*atan(x/(2-x^2))/(-1+x)
- pi-x*tan(x/2)
- Seno sin
- sin(2*x)/sin(3*x)
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(a*x)/sin(b*x)
- Número Pi pi
- pi*x/3
- pi/3
- pi/cos(2*pi*x)
- pi/2-x*atan(x/(2-x^2))/(-1+x)
- pi-x*tan(x/2)
- Tangente tan
- tan(x)^x
- tan(2*x)/sin(4*x)
- tan(-2+x)/log(3-x)
- tan(6*x)/(2*x)
- tan(5*x)/(2*x)
- Número Pi pi
- pi*x/3
- pi/3
- pi/cos(2*pi*x)
- pi/2-x*atan(x/(2-x^2))/(-1+x)
- pi-x*tan(x/2)
Límite de la función cos(pi*sin(pi*x/2)/2)/sin(pi^2*(1-x)*tan(pi*x/2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / /pi*x\\ \
| |pi*sin|----|| |
| | \ 2 /| |
| cos|------------| |
| \ 2 / |
lim |--------------------------|
x->1+| / 2 /pi*x\\|
|sin|pi *(1 - x)*tan|----|||
\ \ \ 2 ///
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Limit(cos((pi*sin((pi*x)/2))/2)/sin((pi^2*(1 - x))*tan((pi*x)/2)), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{4 \left(\frac{\pi^{3} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{4 \left(\frac{\pi^{3} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{\pi^{3} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi^{3} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{8 \left(\frac{\pi^{4} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi^{3}}{8 \left(- \frac{\pi^{4} x \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{\pi^{4} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi^{4} \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \frac{\pi^{4} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi^{3}}{8 \left(- \frac{\pi^{4} x \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{\pi^{4} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi^{4} \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \frac{\pi^{4} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{4 \left(\frac{\pi^{3} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) \cos{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{4 \left(\frac{\pi^{3} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{\pi^{3} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi^{3} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{8 \left(\frac{\pi^{4} \left(1 - x\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi^{3}}{8 \left(- \frac{\pi^{4} x \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{\pi^{4} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi^{4} \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \frac{\pi^{4} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi^{3}}{8 \left(- \frac{\pi^{4} x \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{\pi^{4} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi^{4} \tan^{3}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + \frac{\pi^{4} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \pi^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = \lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = \lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = \lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida
[src]
/ / /pi*x\\ \
| |pi*sin|----|| |
| | \ 2 /| |
| -cos|------------| |
| \ 2 / |
lim |--------------------------------------|
x->1+| / 2 /pi*x\ 2 /pi*x\\|
|sin|- pi *tan|----| + x*pi *tan|----|||
\ \ \ 2 / \ 2 ///
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / /pi*x\\ \
| |pi*sin|----|| |
| | \ 2 /| |
| cos|------------| |
| \ 2 / |
lim |--------------------------|
x->1+| / 2 /pi*x\\|
|sin|pi *(1 - x)*tan|----|||
\ \ \ 2 ///
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
/ / /pi*x\\ \
| |pi*sin|----|| |
| | \ 2 /| |
| -cos|------------| |
| \ 2 / |
lim |--------------------------------------|
x->1+| / 2 /pi*x\ 2 /pi*x\\|
|sin|- pi *tan|----| + x*pi *tan|----|||
\ \ \ 2 / \ 2 ///
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
= -0.375
/ / /pi*x\\ \
| |pi*sin|----|| |
| | \ 2 /| |
| cos|------------| |
| \ 2 / |
lim |--------------------------|
x->1-| / 2 /pi*x\\|
|sin|pi *(1 - x)*tan|----|||
\ \ \ 2 ///
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} \left(1 - x\right) \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
/ / /pi*x\\ \
| |pi*sin|----|| |
| | \ 2 /| |
| -cos|------------| |
| \ 2 / |
lim |--------------------------------------|
x->1-| / 2 /pi*x\ 2 /pi*x\\|
|sin|- pi *tan|----| + x*pi *tan|----|||
\ \ \ 2 / \ 2 ///
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{\cos{\left(\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\pi^{2} x \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - \pi^{2} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \right)}}\right)$$
= -0.375
= -0.375