Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- x*atan(sqrt(dos +x))-pi*x/ dos
- x multiplicar por arco tangente de gente de ( raíz cuadrada de (2 más x)) menos número pi multiplicar por x dividir por 2
- x multiplicar por arco tangente de gente de ( raíz cuadrada de (dos más x)) menos número pi multiplicar por x dividir por dos
- x*atan(√(2+x))-pi*x/2
- xatan(sqrt(2+x))-pix/2
- xatansqrt2+x-pix/2
- x*atan(sqrt(2+x))-pi*x dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- x*atan(sqrt(2+x))+pi*x/2
- x*atan(sqrt(2-x))-pi*x/2
- x*arctan(sqrt(2+x))-pi*x/2
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan((1+x^2)/(3+x))
- atan(1/x+1/(-1+x)+1/(-2+x))
- atan(x)^2/asin(2*x)^2
- atan(5*n)/sqrt(n)
- atan(6+5*x)/(4*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^2)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- sqrt(n^2+2*n)-n
- sqrt(n)*(1+(1+n)^2)/(sqrt(1+n)*(1+n^2))
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<=1),(log(-1+x)/log(2),True))
- pi*tan(5*x/2)/x
- Piecewise((x,x>=0),(1.0+x,x))
- pi/(4*x)-pi*x*(1+exp(pi*x))/2
- Piecewise((1,x<=-1),(-x,x<0),(x^2,True))
Límite de la función x*atan(sqrt(2+x))-pi*x/2
Solución
Ha introducido
[src]
/ / _______\ pi*x\ lim |x*atan\\/ 2 + x / - ----| x->oo\ 2 /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
Limit(x*atan(sqrt(2 + x)) - pi*x/2, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{x + 2} \left(x + 3\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi\right)^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sqrt{x + 2} \left(x + 3\right)}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x}{4 \sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} - \frac{3}{4 \sqrt{x + 2}}\right) \left(- 4 x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 6 \pi x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 3 \pi^{2} x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{\pi^{3} x \sqrt{x + 2}}{2} - 12 \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 18 \pi \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 9 \pi^{2} \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{3 \pi^{3} \sqrt{x + 2}}{2}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x}{4 \sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} - \frac{3}{4 \sqrt{x + 2}}\right) \left(- 4 x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 6 \pi x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 3 \pi^{2} x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{\pi^{3} x \sqrt{x + 2}}{2} - 12 \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 18 \pi \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 9 \pi^{2} \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{3 \pi^{3} \sqrt{x + 2}}{2}\right)\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{x + 2} \left(x + 3\right) \left(2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi\right)^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sqrt{x + 2} \left(x + 3\right)}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x}{4 \sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} - \frac{3}{4 \sqrt{x + 2}}\right) \left(- 4 x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 6 \pi x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 3 \pi^{2} x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{\pi^{3} x \sqrt{x + 2}}{2} - 12 \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 18 \pi \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 9 \pi^{2} \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{3 \pi^{3} \sqrt{x + 2}}{2}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x}{4 \sqrt{x + 2}} - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} - \frac{3}{4 \sqrt{x + 2}}\right) \left(- 4 x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 6 \pi x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 3 \pi^{2} x \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{\pi^{3} x \sqrt{x + 2}}{2} - 12 \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{3}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + 18 \pi \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}^{2}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - 9 \pi^{2} \sqrt{x + 2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} + \frac{3 \pi^{3} \sqrt{x + 2}}{2}\right)\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{\pi}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(\sqrt{x + 2} \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
Más detalles con x→-oo