Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\cot{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi \left(x - 1\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi \left(x - 1\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)