Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)