Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- -x*atan(x)-pi*x/ dos
- menos x multiplicar por arco tangente de gente de (x) menos número pi multiplicar por x dividir por 2
- menos x multiplicar por arco tangente de gente de (x) menos número pi multiplicar por x dividir por dos
- -xatan(x)-pix/2
- -xatanx-pix/2
- -x*atan(x)-pi*x dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- x*atan(x)-pi*x/2
- -x*atan(x)+pi*x/2
- -x*arctan(x)-pi*x/2
- -x*arctanx-pi*x/2
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(x/2)
- atan(6*x)/(-3*x+2*x^2)
- atan(1/(-1+x))
- atan(2+x)/(2+x)
- atan(x/3)
- Número Pi pi
- Piecewise((x,x<0),(-x,x<2),(0,True))
- pi*x*sin(pi/x)^2
- Piecewise((3+x^2+5*x,x<=-2),(-2+x^2,True))
- pi^4*sin(x)/((pi+x)*(pi-x))
- pi/4-x*atan(x/(1+x))
Límite de la función -x*atan(x)-pi*x/2
Solución
Ha introducido
[src]
/ pi*x\ lim |-x*atan(x) - ----| x->-oo\ 2 /
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
Limit((-x)*atan(x) - pi*x/2, x, -oo)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4}\right) \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right) \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{3}}{8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{8}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x^{2}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(x^{2} + 1\right) \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{4}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{6}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{6}\right) \left(- 4 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5} x^{2}}{8} - 4 \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5}}{8}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{6}\right) \left(- 4 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5} x^{2}}{8} - 4 \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5}}{8}\right)\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4}\right) \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x^{2} + 1\right) \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{3}}{8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x^{2} + 1\right)}{8}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x^{2}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(x^{2} + 1\right) \left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{4}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(\frac{3 x^{2}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{6}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \pi\right)^{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{6}\right) \left(- 4 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5} x^{2}}{8} - 4 \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5}}{8}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{6}\right) \left(- 4 x^{2} \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi x^{2} \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} x^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} x^{2} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5} x^{2}}{8} - 4 \operatorname{atan}^{5}{\left(x \right)} - 10 \pi \operatorname{atan}^{4}{\left(x \right)} - 10 \pi^{2} \operatorname{atan}^{3}{\left(x \right)} - 5 \pi^{3} \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \pi^{4} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\pi^{5}}{8}\right)\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{3 \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{3 \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{3 \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\pi x}{2}\right) = - \frac{3 \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha