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cos(pi*n)/(ln^n(2))

Suma de la serie cos(pi*n)/(ln^n(2))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo           
____           
\   `          
 \    cos(pi*n)
  \   ---------
  /       n    
 /     log (2) 
/___,          
n = 1          
n=1cos(πn)log(2)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\log{\left(2 \right)}^{n}}
Sum(cos(pi*n)/log(2)^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
cos(πn)log(2)n\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\log{\left(2 \right)}^{n}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=cos(πn)a_{n} = \cos{\left(\pi n \right)}
y
x0=log(2)x_{0} = - \log{\left(2 \right)}
,
d=1d = -1
,
c=0c = 0
entonces
1R=~(log(2)+limncos(πn)cos(π(n+1)))\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- \log{\left(2 \right)} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
1R=~(log(2)+limncos(πn)cos(π(n+1)))\frac{1}{R} = \tilde{\infty} \left(- \log{\left(2 \right)} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|\right)
R=0(log(2)+limncos(πn)cos(π(n+1)))1R = 0 \left(- \log{\left(2 \right)} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\cos{\left(\pi n \right)}}{\cos{\left(\pi \left(n + 1\right) \right)}}}\right|\right)^{-1}
Velocidad de la convergencia de la serie
1.07.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.5-1010
Respuesta [src]
  oo                    
 ___                    
 \  `                   
  \      -n             
  /   log  (2)*cos(pi*n)
 /__,                   
n = 1                   
n=1log(2)ncos(πn)\sum_{n=1}^{\infty} \log{\left(2 \right)}^{- n} \cos{\left(\pi n \right)}
Sum(log(2)^(-n)*cos(pi*n), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie cos(pi*n)/(ln^n(2))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie