Integral de (pi-3z)sinz*dz dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\pi - 3 z\right) \sin{\left(z \right)} = - 3 z \sin{\left(z \right)} + \pi \sin{\left(z \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 z \sin{\left(z \right)}\right)\, dz = - 3 \int z \sin{\left(z \right)}\, dz$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(z \right)} = z$ y que $\operatorname{dv}{\left(z \right)} = \sin{\left(z \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(z \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(z \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(z \right)}\, dz = - \cos{\left(z \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(z \right)}\right)\, dz = - \int \cos{\left(z \right)}\, dz$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(z \right)}\, dz = \sin{\left(z \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(z \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 z \cos{\left(z \right)} - 3 \sin{\left(z \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \pi \sin{\left(z \right)}\, dz = \pi \int \sin{\left(z \right)}\, dz$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(z \right)}\, dz = - \cos{\left(z \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \pi \cos{\left(z \right)}$

      El resultado es: $3 z \cos{\left(z \right)} - 3 \sin{\left(z \right)} - \pi \cos{\left(z \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(z \right)} = \pi - 3 z$ y que $\operatorname{dv}{\left(z \right)} = \sin{\left(z \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(z \right)} = -3$.

      Para buscar $v{\left(z \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(z \right)}\, dz = - \cos{\left(z \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \cos{\left(z \right)}\, dz = 3 \int \cos{\left(z \right)}\, dz$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(z \right)}\, dz = \sin{\left(z \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(z \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 z \cos{\left(z \right)} - 3 \sin{\left(z \right)} - \pi \cos{\left(z \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 z \cos{\left(z \right)} - 3 \sin{\left(z \right)} - \pi \cos{\left(z \right)}+ \mathrm{constant}$