Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de x^(1/(-1+x))
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(x))*cot(pi*x)
- ( menos 1 más raíz cuadrada de (x)) multiplicar por cotangente de ( número pi multiplicar por x)
- ( menos uno más raíz cuadrada de (x)) multiplicar por cotangente de ( número pi multiplicar por x)
- (-1+√(x))*cot(pi*x)
- (-1+sqrt(x))cot(pix)
- -1+sqrtxcotpix
-
Expresiones semejantes
- (1+sqrt(x))*cot(pi*x)
- (-1-sqrt(x))*cot(pi*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-x
- sqrt(x^2-x)-x
- sqrt(1+x)/sqrt(x)
- sqrt(1+x)
- sqrt(3)
- Cotangente cot
- cot(4*x)*tan(2*x)
- cot(x/8)^2*tan(5*x/4)^2
- cot(7*x)*tan(5*x)
- cot(2*x)/tan(4*x)
- cot(x)^(1/log(3*x))
- Número Pi pi
- pi*x/3
- pi/3
- pi/2-x*atan(x/(2-x^2))/(-1+x)
- pi*n/(x*cot(3*x))
- pi*x/2
Límite de la función (-1+sqrt(x))*cot(pi*x)
Solución
Ha introducido
[src]
// ___\ \ lim \\-1 + \/ x /*cot(pi*x)/ x->1+
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(x))*cot(pi*x), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi \sqrt{x} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 \pi}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{2 \pi}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi \sqrt{x} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{2 \pi}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{2 \pi}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{1}{2 \pi}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{1}{2 \pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{1}{2 \pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
// ___\ \ lim \\-1 + \/ x /*cot(pi*x)/ x->1+
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
1 ---- 2*pi
$$\frac{1}{2 \pi}$$
= 0.159154943091895
// ___\ \ lim \\-1 + \/ x /*cot(pi*x)/ x->1-
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(\sqrt{x} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
1 ---- 2*pi
$$\frac{1}{2 \pi}$$
= 0.159154943091895
= 0.159154943091895