Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- cot(pi*x)*log(tan(x+pi/ cuatro))
- cotangente de ( número pi multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de ( tangente de (x más número pi dividir por 4))
- cotangente de ( número pi multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de ( tangente de (x más número pi dividir por cuatro))
- cot(pix)log(tan(x+pi/4))
- cotpixlogtanx+pi/4
- cot(pi*x)*log(tan(x+pi dividir por 4))
-
Expresiones semejantes
- cot(pi*x)*log(tan(x-pi/4))
-
Expresiones con funciones
- Cotangente cot
- cot(3*x)/cot(2*x)
- cot(2*x)/log(x)
- cot(4*x)*tan(6*x)
- cot(x)^2/(2-p-x)^4
- cot(x)/log(-1+e^x)
- Número Pi pi
- pi/cos(x)-2*x*tan(x)
- Piecewise((5-x^2,x>3),(3+x,True))
- pi*(9-x^2)/sin(pi*x)
- pi-sqrt(x)-2*sqrt(x)*atan(x)
- Piecewise((4+x^2,x>=-1),(6+2*x,True))
- Logaritmo log
- log(sin(x))*tan(x)
- log(e+x)^(1/x)
- log(1+2*x)/x
- log(1/x)*tan(x)
- log((1+x)/(-1+x))
- Tangente tan
- tan(2*x)/(2*x^2)
- tan(pi*x/2)/log(1-x)
- tan(5*x)/(3*x)
- tan(m*x)/sin(n*x)
- tan(3*x)/(7*x)
- Número Pi pi
- pi/cos(x)-2*x*tan(x)
- Piecewise((5-x^2,x>3),(3+x,True))
- pi*(9-x^2)/sin(pi*x)
- pi-sqrt(x)-2*sqrt(x)*atan(x)
- Piecewise((4+x^2,x>=-1),(6+2*x,True))
Límite de la función cot(pi*x)*log(tan(x+pi/4))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / / pi\\\ lim |cot(pi*x)*log|tan|x + --||| x->0+\ \ \ 4 ///
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Limit(cot(pi*x)*log(tan(x + pi/4)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(\frac{4 x + \pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\pi}{2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cot^{4}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{\pi}{2 \cot^{4}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{2}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(\frac{4 x + \pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\pi}{2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cot^{4}{\left(\pi x \right)}}{\pi \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{\pi}{2 \cot^{4}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{2 \pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\frac{2}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{2}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(\tan{\left(\frac{\pi}{4} + 1 \right)} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(\tan{\left(\frac{\pi}{4} + 1 \right)} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{2}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(\tan{\left(\frac{\pi}{4} + 1 \right)} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\log{\left(\tan{\left(\frac{\pi}{4} + 1 \right)} \right)} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / / pi\\\ lim |cot(pi*x)*log|tan|x + --||| x->0+\ \ \ 4 ///
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
2 -- pi
$$\frac{2}{\pi}$$
= 0.636619772367581
/ / / pi\\\ lim |cot(pi*x)*log|tan|x + --||| x->0-\ \ \ 4 ///
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
2 -- pi
$$\frac{2}{\pi}$$
= 0.636619772367581
= 0.636619772367581