Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- cos(pi*x/ dos)/(x^ tres -x^ dos)
- coseno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2) dividir por (x al cubo menos x al cuadrado )
- coseno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos) dividir por (x en el grado tres menos x en el grado dos)
- cos(pi*x/2)/(x3-x2)
- cospi*x/2/x3-x2
- cos(pi*x/2)/(x³-x²)
- cos(pi*x/2)/(x en el grado 3-x en el grado 2)
- cos(pix/2)/(x^3-x^2)
- cos(pix/2)/(x3-x2)
- cospix/2/x3-x2
- cospix/2/x^3-x^2
- cos(pi*x dividir por 2) dividir por (x^3-x^2)
-
Expresiones semejantes
- cos(pi*x/2)/(x^3+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)^(sin(x)^(-2))
- cos(x)/(2*x)+5*x/(7+3*x)
- cos(x)^(1/(x*sin(x)))
- cos(2/x)
- cos(x)^4+sin(x)^4
- Número Pi pi
- Piecewise((x,x<0),(-x,x<2),(0,True))
- pi*x*sin(pi/x)^2
- Piecewise((3+x^2+5*x,x<=-2),(-2+x^2,True))
- pi^4*sin(x)/((pi+x)*(pi-x))
- pi/4-x*atan(x/(1+x))
Límite de la función cos(pi*x/2)/(x^3-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /pi*x\\
|cos|----||
| \ 2 /|
lim |---------|
x->1+| 3 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right)$$
Limit(cos((pi*x)/2)/(x^3 - x^2), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{3} - x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$- \frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{3} - x^{2}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2 \left(3 x^{2} - 2 x\right)}\right)$$
=
$$- \frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /pi*x\\
|cos|----||
| \ 2 /|
lim |---------|
x->1+| 3 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right)$$
-pi ---- 2
$$- \frac{\pi}{2}$$
= -1.5707963267949
/ /pi*x\\
|cos|----||
| \ 2 /|
lim |---------|
x->1-| 3 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{3} - x^{2}}\right)$$
-pi ---- 2
$$- \frac{\pi}{2}$$
= -1.5707963267949
= -1.5707963267949