Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 2*abs(cos((x+5*pi)/12)*sin((x-5*pi)/12))

Gráfico de la función y = 2*abs(cos((x+5*pi)/12)*sin((x-5*pi)/12))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         |   /x + 5*pi\    /x - 5*pi\|
f(x) = 2*|cos|--------|*sin|--------||
         |   \   12   /    \   12   /|
f(x)=2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣f{\left(x \right)} = 2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| 
f = 2*Abs(sin((x - 5*pi)/12)*cos((x + 5*pi)/12))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣=02 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi
x3=13πx_{3} = 13 \pi
x4=17πx_{4} = 17 \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−135.088484104361x_{2} = -135.088484104361
x3=−147.65485471872x_{3} = -147.65485471872
x4=78.5398163397448x_{4} = 78.5398163397448
x5=191.637151868977x_{5} = 191.637151868977
x6=−1014.7344271095x_{6} = -1014.7344271095
x7=−34.5575191894877x_{7} = -34.5575191894877
x8=3.14159265358979x_{8} = 3.14159265358979
x9=−21.9911485751286x_{9} = -21.9911485751286
x10=53.4070751110265x_{10} = 53.4070751110265
x11=15.707963267949x_{11} = 15.707963267949
x12=−361.283155162826x_{12} = -361.283155162826
x13=−248.185819633594x_{13} = -248.185819633594
x14=1636.76977252028x_{14} = 1636.76977252028
x15=91.106186954104x_{15} = 91.106186954104
x16=−72.2566310325652x_{16} = -72.2566310325652
x17=−97.3893722612836x_{17} = -97.3893722612836
x18=40.8407044966673x_{18} = 40.8407044966673
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*Abs(cos((x + 5*pi)/12)*sin((x - 5*pi)/12)).
2∣sin⁡((−1)5π12)cos⁡(5π12)∣2 \left|{\sin{\left(\frac{\left(-1\right) 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|
Resultado:
f(0)=2(−24+64)(24+64)f{\left(0 \right)} = 2 \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)
Punto:
(0, 2*(-sqrt(2)/4 + sqrt(6)/4)*(sqrt(2)/4 + sqrt(6)/4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(−sin⁡(x−5π12)sin⁡(x+5π12)12+cos⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)12)sign⁡(cos⁡(x12+π12)cos⁡(x12+5π12))=0- 2 \left(- \frac{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}{12}\right) \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=122.522113490002x_{1} = 122.522113490002
x2=−28.2743338823081x_{2} = -28.2743338823081
x3=−9.42477796076938x_{3} = -9.42477796076938
x4=9.42477796076938x_{4} = 9.42477796076938
x5=−103.672557568463x_{5} = -103.672557568463
x6=−763.40701482232x_{6} = -763.40701482232
x7=876.504350351552x_{7} = 876.504350351552
x8=65.9734457253857x_{8} = 65.9734457253857
x9=−47.1238898038469x_{9} = -47.1238898038469
x10=−65.9734457253857x_{10} = -65.9734457253857
x11=47.1238898038469x_{11} = 47.1238898038469
x12=−2327.92015631004x_{12} = -2327.92015631004
x13=84.8230016469244x_{13} = 84.8230016469244
x14=103.672557568463x_{14} = 103.672557568463
x15=593.761011528471x_{15} = 593.761011528471
x16=−84.8230016469244x_{16} = -84.8230016469244
x17=−235.619449019234x_{17} = -235.619449019234
x18=28.2743338823081x_{18} = 28.2743338823081
Signos de extremos en los puntos:
                           /                   pi\    /                   5*pi\ 
(122.52211349000194, -2*cos|10.2101761241668 + --|*cos|10.2101761241668 + ----|)
                           \                   12/    \                    12 / 

                            /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-28.274333882308138, -2*sin|2.35619449019234 + --|*sin|2.35619449019234 + ----|)
                            \                   12/    \                    12 / 

                         /                    pi\    /                    5*pi\ 
(-9.42477796076938, 2*sin|0.785398163397448 + --|*sin|0.785398163397448 + ----|)
                         \                    12/    \                     12 / 

                         /                    pi\    /                    5*pi\ 
(9.42477796076938, -2*cos|0.785398163397448 + --|*cos|0.785398163397448 + ----|)
                         \                    12/    \                     12 / 

                            /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-103.67255756846318, -2*sin|8.63937979737193 + --|*sin|8.63937979737193 + ----|)
                            \                   12/    \                    12 / 

                          /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-763.4070148223198, 2*sin|63.6172512351933 + --|*sin|63.6172512351933 + ----|)
                          \                   12/    \                    12 / 

                          /                   pi\    /                   5*pi\ 
(876.5043503515523, -2*cos|73.0420291959627 + --|*cos|73.0420291959627 + ----|)
                          \                   12/    \                    12 / 

                         /                   pi\    /                   5*pi\ 
(65.97344572538566, 2*cos|5.49778714378214 + --|*cos|5.49778714378214 + ----|)
                         \                   12/    \                    12 / 

                         /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-47.1238898038469, 2*sin|3.92699081698724 + --|*sin|3.92699081698724 + ----|)
                         \                   12/    \                    12 / 

                           /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-65.97344572538566, -2*sin|5.49778714378214 + --|*sin|5.49778714378214 + ----|)
                           \                   12/    \                    12 / 

                         /                   pi\    /                   5*pi\ 
(47.1238898038469, -2*cos|3.92699081698724 + --|*cos|3.92699081698724 + ----|)
                         \                   12/    \                    12 / 

                           /                  pi\    /                  5*pi\ 
(-2327.920156310037, -2*sin|193.99334635917 + --|*sin|193.99334635917 + ----|)
                           \                  12/    \                   12 / 

                          /                   pi\    /                   5*pi\ 
(84.82300164692441, -2*cos|7.06858347057703 + --|*cos|7.06858347057703 + ----|)
                          \                   12/    \                    12 / 

                          /                   pi\    /                   5*pi\ 
(103.67255756846318, 2*cos|8.63937979737193 + --|*cos|8.63937979737193 + ----|)
                          \                   12/    \                    12 / 

                         /                   pi\    /                   5*pi\ 
(593.7610115284709, 2*cos|49.4800842940392 + --|*cos|49.4800842940392 + ----|)
                         \                   12/    \                    12 / 

                          /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-84.82300164692441, 2*sin|7.06858347057703 + --|*sin|7.06858347057703 + ----|)
                          \                   12/    \                    12 / 

                           /                   pi\    /                   5*pi\ 
(-235.61944901923448, 2*sin|19.6349540849362 + --|*sin|19.6349540849362 + ----|)
                           \                   12/    \                    12 / 

                          /                   pi\    /                   5*pi\ 
(28.274333882308138, 2*cos|2.35619449019234 + --|*cos|2.35619449019234 + ----|)
                          \                   12/    \                    12 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x18=122.522113490002x_{18} = 122.522113490002
x18=−28.2743338823081x_{18} = -28.2743338823081
x18=−9.42477796076938x_{18} = -9.42477796076938
x18=9.42477796076938x_{18} = 9.42477796076938
x18=−103.672557568463x_{18} = -103.672557568463
x18=−763.40701482232x_{18} = -763.40701482232
x18=876.504350351552x_{18} = 876.504350351552
x18=65.9734457253857x_{18} = 65.9734457253857
x18=−47.1238898038469x_{18} = -47.1238898038469
x18=−65.9734457253857x_{18} = -65.9734457253857
x18=47.1238898038469x_{18} = 47.1238898038469
x18=−2327.92015631004x_{18} = -2327.92015631004
x18=84.8230016469244x_{18} = 84.8230016469244
x18=103.672557568463x_{18} = 103.672557568463
x18=593.761011528471x_{18} = 593.761011528471
x18=−84.8230016469244x_{18} = -84.8230016469244
x18=−235.619449019234x_{18} = -235.619449019234
x18=28.2743338823081x_{18} = 28.2743338823081
Decrece en los intervalos
(−∞,−2327.92015631004]\left(-\infty, -2327.92015631004\right]
Crece en los intervalos
[876.504350351552,∞)\left[876.504350351552, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x−5π12)sin⁡(x+5π12)−cos⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12))(sin⁡(x+π12)cos⁡(x+5π12)+sin⁡(x+5π12)cos⁡(x+π12))δ(cos⁡(x+π12)cos⁡(x+5π12))+(sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)+sin⁡(x+5π12)cos⁡(x−5π12))sign⁡(cos⁡(x+π12)cos⁡(x+5π12))36=0\frac{- \left(\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} - \cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}\right) \left(\sin{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} + \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)}\right) \delta\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}\right) + \left(\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} + \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \right)}}{36} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣)=2∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty}\left(2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|\right) = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2∣⟨−1,1⟩∣y = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
lim⁡x→∞(2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣)=2∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty}\left(2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|\right) = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2∣⟨−1,1⟩∣y = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*Abs(cos((x + 5*pi)/12)*sin((x - 5*pi)/12)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣=2∣sin⁡(x12+π12)sin⁡(x12+5π12)∣2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = 2 \left|{\sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|
- No
2∣sin⁡(x−5π12)cos⁡(x+5π12)∣=−2∣sin⁡(x12+π12)sin⁡(x12+5π12)∣2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = - 2 \left|{\sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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