Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- dos *abs(cos((x+ cinco *pi)/ doce)*sin((x- cinco *pi)/ doce))
- 2 multiplicar por abs( coseno de ((x más 5 multiplicar por número pi ) dividir por 12) multiplicar por seno de ((x menos 5 multiplicar por número pi ) dividir por 12))
- dos multiplicar por abs( coseno de ((x más cinco multiplicar por número pi ) dividir por doce) multiplicar por seno de ((x menos cinco multiplicar por número pi ) dividir por doce))
- 2abs(cos((x+5pi)/12)sin((x-5pi)/12))
- 2abscosx+5pi/12sinx-5pi/12
- 2*abs(cos((x+5*pi) dividir por 12)*sin((x-5*pi) dividir por 12))
-
Expresiones semejantes
- 2*abs(cos((x-5*pi)/12)*sin((x-5*pi)/12))
- 2*abs(cos((x+5*pi)/12)*sin((x+5*pi)/12))
-
Expresiones con funciones
- abs
- abs(1/ctg(x))
- abs(2*x+4)+abs(2*x-6)
- abs(log((x-1),4))
- abs((sqrt(x)-3))
- abs(x+1)-x
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x*sqrt(6))+sin(x*sqrt(6))
- cos(x)/8
- Número Pi pi
- pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))
- pi-arcsin(x)
- pi^-x
- pi/2-2*atan((1-2*x)/3)
- pi*log(a)/((2*a))
- Seno sin
- sin(x)+5
- sin(x)-cos(x^2)+(1/4)
- sin(x)*2*x
- sin(x^(3)+x)
- sin(x)*3
- Número Pi pi
- pi*(1-sqrt(1-exp(2*x*pi^2))-exp(2*x*pi^2))/(1-exp(2*x*pi^2))
- pi-arcsin(x)
- pi^-x
- pi/2-2*atan((1-2*x)/3)
- pi*log(a)/((2*a))
Gráfico de la función y = 2*abs(cos((x+5*pi)/12)*sin((x-5*pi)/12))
Solución
Ha introducido
[src]
| /x + 5*pi\ /x - 5*pi\|
f(x) = 2*|cos|--------|*sin|--------||
| \ 12 / \ 12 /|
$$f{\left(x \right)} = 2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|$$
f = 2*Abs(sin((x - 5*pi)/12)*cos((x + 5*pi)/12))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 5 \pi$$
$$x_{3} = 13 \pi$$
$$x_{4} = 17 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -59.6902604182061$$
$$x_{2} = -135.088484104361$$
$$x_{3} = -147.65485471872$$
$$x_{4} = 78.5398163397448$$
$$x_{5} = 191.637151868977$$
$$x_{6} = -1014.7344271095$$
$$x_{7} = -34.5575191894877$$
$$x_{8} = 3.14159265358979$$
$$x_{9} = -21.9911485751286$$
$$x_{10} = 53.4070751110265$$
$$x_{11} = 15.707963267949$$
$$x_{12} = -361.283155162826$$
$$x_{13} = -248.185819633594$$
$$x_{14} = 1636.76977252028$$
$$x_{15} = 91.106186954104$$
$$x_{16} = -72.2566310325652$$
$$x_{17} = -97.3893722612836$$
$$x_{18} = 40.8407044966673$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 5 \pi$$
$$x_{3} = 13 \pi$$
$$x_{4} = 17 \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -59.6902604182061$$
$$x_{2} = -135.088484104361$$
$$x_{3} = -147.65485471872$$
$$x_{4} = 78.5398163397448$$
$$x_{5} = 191.637151868977$$
$$x_{6} = -1014.7344271095$$
$$x_{7} = -34.5575191894877$$
$$x_{8} = 3.14159265358979$$
$$x_{9} = -21.9911485751286$$
$$x_{10} = 53.4070751110265$$
$$x_{11} = 15.707963267949$$
$$x_{12} = -361.283155162826$$
$$x_{13} = -248.185819633594$$
$$x_{14} = 1636.76977252028$$
$$x_{15} = 91.106186954104$$
$$x_{16} = -72.2566310325652$$
$$x_{17} = -97.3893722612836$$
$$x_{18} = 40.8407044966673$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \left(- \frac{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}{12}\right) \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 122.522113490002$$
$$x_{2} = -28.2743338823081$$
$$x_{3} = -9.42477796076938$$
$$x_{4} = 9.42477796076938$$
$$x_{5} = -103.672557568463$$
$$x_{6} = -763.40701482232$$
$$x_{7} = 876.504350351552$$
$$x_{8} = 65.9734457253857$$
$$x_{9} = -47.1238898038469$$
$$x_{10} = -65.9734457253857$$
$$x_{11} = 47.1238898038469$$
$$x_{12} = -2327.92015631004$$
$$x_{13} = 84.8230016469244$$
$$x_{14} = 103.672557568463$$
$$x_{15} = 593.761011528471$$
$$x_{16} = -84.8230016469244$$
$$x_{17} = -235.619449019234$$
$$x_{18} = 28.2743338823081$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{18} = 122.522113490002$$
$$x_{18} = -28.2743338823081$$
$$x_{18} = -9.42477796076938$$
$$x_{18} = 9.42477796076938$$
$$x_{18} = -103.672557568463$$
$$x_{18} = -763.40701482232$$
$$x_{18} = 876.504350351552$$
$$x_{18} = 65.9734457253857$$
$$x_{18} = -47.1238898038469$$
$$x_{18} = -65.9734457253857$$
$$x_{18} = 47.1238898038469$$
$$x_{18} = -2327.92015631004$$
$$x_{18} = 84.8230016469244$$
$$x_{18} = 103.672557568463$$
$$x_{18} = 593.761011528471$$
$$x_{18} = -84.8230016469244$$
$$x_{18} = -235.619449019234$$
$$x_{18} = 28.2743338823081$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2327.92015631004\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[876.504350351552, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \left(- \frac{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}{12} + \frac{\cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}{12}\right) \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 122.522113490002$$
$$x_{2} = -28.2743338823081$$
$$x_{3} = -9.42477796076938$$
$$x_{4} = 9.42477796076938$$
$$x_{5} = -103.672557568463$$
$$x_{6} = -763.40701482232$$
$$x_{7} = 876.504350351552$$
$$x_{8} = 65.9734457253857$$
$$x_{9} = -47.1238898038469$$
$$x_{10} = -65.9734457253857$$
$$x_{11} = 47.1238898038469$$
$$x_{12} = -2327.92015631004$$
$$x_{13} = 84.8230016469244$$
$$x_{14} = 103.672557568463$$
$$x_{15} = 593.761011528471$$
$$x_{16} = -84.8230016469244$$
$$x_{17} = -235.619449019234$$
$$x_{18} = 28.2743338823081$$
Signos de extremos en los puntos:
/ pi\ / 5*pi\
(122.52211349000194, -2*cos|10.2101761241668 + --|*cos|10.2101761241668 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-28.274333882308138, -2*sin|2.35619449019234 + --|*sin|2.35619449019234 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-9.42477796076938, 2*sin|0.785398163397448 + --|*sin|0.785398163397448 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(9.42477796076938, -2*cos|0.785398163397448 + --|*cos|0.785398163397448 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-103.67255756846318, -2*sin|8.63937979737193 + --|*sin|8.63937979737193 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-763.4070148223198, 2*sin|63.6172512351933 + --|*sin|63.6172512351933 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(876.5043503515523, -2*cos|73.0420291959627 + --|*cos|73.0420291959627 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(65.97344572538566, 2*cos|5.49778714378214 + --|*cos|5.49778714378214 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-47.1238898038469, 2*sin|3.92699081698724 + --|*sin|3.92699081698724 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-65.97344572538566, -2*sin|5.49778714378214 + --|*sin|5.49778714378214 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(47.1238898038469, -2*cos|3.92699081698724 + --|*cos|3.92699081698724 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-2327.920156310037, -2*sin|193.99334635917 + --|*sin|193.99334635917 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(84.82300164692441, -2*cos|7.06858347057703 + --|*cos|7.06858347057703 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(103.67255756846318, 2*cos|8.63937979737193 + --|*cos|8.63937979737193 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(593.7610115284709, 2*cos|49.4800842940392 + --|*cos|49.4800842940392 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-84.82300164692441, 2*sin|7.06858347057703 + --|*sin|7.06858347057703 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(-235.61944901923448, 2*sin|19.6349540849362 + --|*sin|19.6349540849362 + ----|)
\ 12/ \ 12 / / pi\ / 5*pi\
(28.274333882308138, 2*cos|2.35619449019234 + --|*cos|2.35619449019234 + ----|)
\ 12/ \ 12 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{18} = 122.522113490002$$
$$x_{18} = -28.2743338823081$$
$$x_{18} = -9.42477796076938$$
$$x_{18} = 9.42477796076938$$
$$x_{18} = -103.672557568463$$
$$x_{18} = -763.40701482232$$
$$x_{18} = 876.504350351552$$
$$x_{18} = 65.9734457253857$$
$$x_{18} = -47.1238898038469$$
$$x_{18} = -65.9734457253857$$
$$x_{18} = 47.1238898038469$$
$$x_{18} = -2327.92015631004$$
$$x_{18} = 84.8230016469244$$
$$x_{18} = 103.672557568463$$
$$x_{18} = 593.761011528471$$
$$x_{18} = -84.8230016469244$$
$$x_{18} = -235.619449019234$$
$$x_{18} = 28.2743338823081$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2327.92015631004\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[876.504350351552, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \left(\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} - \cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}\right) \left(\sin{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} + \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)}\right) \delta\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}\right) + \left(\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} + \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \right)}}{36} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \left(\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} - \cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}\right) \left(\sin{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} + \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)}\right) \delta\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}\right) + \left(\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} + \sin{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(\frac{x + \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)} \right)}}{36} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|\right) = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|\right) = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|\right) = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|\right) = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2 \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*Abs(cos((x + 5*pi)/12)*sin((x - 5*pi)/12)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = 2 \left|{\sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|$$
- No
$$2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = - 2 \left|{\sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = 2 \left|{\sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|$$
- No
$$2 \left|{\sin{\left(\frac{x - 5 \pi}{12} \right)} \cos{\left(\frac{x + 5 \pi}{12} \right)}}\right| = - 2 \left|{\sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{\pi}{12} \right)} \sin{\left(\frac{x}{12} + \frac{5 \pi}{12} \right)}}\right|$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar