Integral de x^2*exp(-x/2)/sqrt(2*pi) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}}{\sqrt{2 \pi}}\, dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}} \int x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\, dx$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 4 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 8 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

      1. que $u = - \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 16 e^{- \frac{x}{2}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}} \left(- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 e^{- \frac{x}{2}}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} \left(x^{2} + 4 x + 8\right) e^{- \frac{x}{2}}}{\sqrt{\pi}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} \left(x^{2} + 4 x + 8\right) e^{- \frac{x}{2}}}{\sqrt{\pi}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} \left(x^{2} + 4 x + 8\right) e^{- \frac{x}{2}}}{\sqrt{\pi}}+ \mathrm{constant}$