Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Expresiones idénticas
- x*(seis +x^ dos - cinco *x)*sin(pi*x)/((- uno +x)*log(dos +cos(pi*x)))
- x multiplicar por (6 más x al cuadrado menos 5 multiplicar por x) multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por (( menos 1 más x) multiplicar por logaritmo de (2 más coseno de ( número pi multiplicar por x)))
- x multiplicar por (seis más x en el grado dos menos cinco multiplicar por x) multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por (( menos uno más x) multiplicar por logaritmo de (dos más coseno de ( número pi multiplicar por x)))
- x*(6+x2-5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
- x*6+x2-5*x*sinpi*x/-1+x*log2+cospi*x
- x*(6+x²-5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
- x*(6+x en el grado 2-5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
- x(6+x^2-5x)sin(pix)/((-1+x)log(2+cos(pix)))
- x(6+x2-5x)sin(pix)/((-1+x)log(2+cos(pix)))
- x6+x2-5xsinpix/-1+xlog2+cospix
- x6+x^2-5xsinpix/-1+xlog2+cospix
- x*(6+x^2-5*x)*sin(pi*x) dividir por ((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
-
Expresiones semejantes
- x*(6-x^2-5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
- x*(6+x^2-5*x)*sin(pi*x)/((-1-x)*log(2+cos(pi*x)))
- x*(6+x^2+5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
- x*(6+x^2-5*x)*sin(pi*x)/((1+x)*log(2+cos(pi*x)))
- x*(6+x^2-5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2-cos(pi*x)))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2)^2/(3*x)
- sin(17*x)/(8*x)
- sin(x*y)/(x*y)
- sin(m*x)/x
- sin(x)*tan(x)/(1-cos(x))
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<=1),(log(-1+x)/log(2),True))
- pi*tan(5*x/2)/x
- Piecewise((x,x>=0),(1.0+x,x))
- pi/(4*x)-pi*x*(1+exp(pi*x))/2
- Piecewise((1,x<=-1),(-x,x<0),(x^2,True))
- Logaritmo log
- log(1+x^2)/(1-sqrt(1+x^2))
- log(cos(3*x))/log(cos(5*x))
- log(1+sin(x))/sin(x)^4
- log(1+k*x)/x
- log(x)/(1+x^2)
- Coseno cos
- cos(sqrt((2-pi)/x))^x
- cos(3*x)*sin(x)*sin(2*x)/cot(4*x)
- cos(-2+x)/(-2+x)
- cos(x)^sin(x)/x^3
- cos(x^2*sin(7/x))
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<=1),(log(-1+x)/log(2),True))
- pi*tan(5*x/2)/x
- Piecewise((x,x>=0),(1.0+x,x))
- pi/(4*x)-pi*x*(1+exp(pi*x))/2
- Piecewise((1,x<=-1),(-x,x<0),(x^2,True))
Límite de la función x*(6+x^2-5*x)*sin(pi*x)/((-1+x)*log(2+cos(pi*x)))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2 \ \
| x*\6 + x - 5*x/*sin(pi*x)|
lim |---------------------------|
x->3+\(-1 + x)*log(2 + cos(pi*x))/
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
Limit(((x*(6 + x^2 - 5*x))*sin(pi*x))/(((-1 + x)*log(2 + cos(pi*x)))), x, 3)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+} \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2\right) \left(\frac{x \left(2 x - 5\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{\pi x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}\right)}{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{- \frac{x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{\pi x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{5 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{5 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{6 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{10 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}}{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{- \frac{x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{\pi x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{5 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{5 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{6 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{10 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}}{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{3}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+} \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2\right) \left(\frac{x \left(2 x - 5\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{\pi x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{x \left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{\left(x^{2} - 5 x + 6\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}\right)}{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{- \frac{x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{\pi x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{5 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{5 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{6 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{10 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}}{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(- \frac{- \frac{x^{3} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{\pi x^{3} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{5 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{5 \pi x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} - \frac{6 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{10 x \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \pi x \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 1} + \frac{6 \sin{\left(\pi x \right)}}{x - 1}}{\pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{3}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = - \frac{3}{\pi}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = - \frac{3}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = \frac{\left\langle -\infty, \infty\right\rangle}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = \frac{\left\langle -\infty, \infty\right\rangle}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = - \frac{3}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = \frac{\left\langle -\infty, \infty\right\rangle}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right) = \frac{\left\langle -\infty, \infty\right\rangle}{\log{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 2 \ \
| x*\6 + x - 5*x/*sin(pi*x)|
lim |---------------------------|
x->3+\(-1 + x)*log(2 + cos(pi*x))/
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
-3 --- pi
$$- \frac{3}{\pi}$$
= -0.954929658551372
/ / 2 \ \
| x*\6 + x - 5*x/*sin(pi*x)|
lim |---------------------------|
x->3-\(-1 + x)*log(2 + cos(pi*x))/
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{x \left(- 5 x + \left(x^{2} + 6\right)\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 2 \right)}}\right)$$
-3 --- pi
$$- \frac{3}{\pi}$$
= -0.954929658551372
= -0.954929658551372