Sr Examen

Otras calculadoras:

x/cot(x)-pi/(2*cos(x))
Límite de la función/ cos(x)/ cot(x)/ x/cot(x)-pi/(2*cos(x))

Límite de la función x/cot(x)-pi/(2*cos(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /  x         pi   \
 lim  |------ - --------|
   pi \cot(x)   2*cos(x)/
x->--+                   
   2
lim⁡x→π2+(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) 
Limit(x/cot(x) - pi/(2*cos(x)), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(2xcos⁡(x)−πcot⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 x \cos{\left(x \right)} - \pi \cot{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+(2cos⁡(x)cot⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(2 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(2xcos⁡(x)−πcot⁡(x)2cos⁡(x)cot⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{2 x \cos{\left(x \right)} - \pi \cot{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(2xcos⁡(x)−πcot⁡(x))ddx2cos⁡(x)cot⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x \cos{\left(x \right)} - \pi \cot{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+πcot⁡2(x)+π−2sin⁡(x)cot⁡(x)−2cos⁡(x)cot⁡2(x)−2cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{- 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + \pi \cot^{2}{\left(x \right)} + \pi}{- 2 \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(−2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+πcot⁡2(x)+π)ddx(−2sin⁡(x)cot⁡(x)−2cos⁡(x)cot⁡2(x)−2cos⁡(x)))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} + \pi \cot^{2}{\left(x \right)} + \pi\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xcos⁡(x)−4sin⁡(x)−2πcot⁡3(x)−2πcot⁡(x)4sin⁡(x)cot⁡2(x)+4sin⁡(x)+4cos⁡(x)cot⁡3(x)+2cos⁡(x)cot⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} - 2 \pi \cot^{3}{\left(x \right)} - 2 \pi \cot{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} \cot^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xcos⁡(x)−4sin⁡(x)−2πcot⁡3(x)−2πcot⁡(x)4sin⁡(x)cot⁡2(x)+4sin⁡(x)+4cos⁡(x)cot⁡3(x)+2cos⁡(x)cot⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{- 2 x \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} - 2 \pi \cot^{3}{\left(x \right)} - 2 \pi \cot{\left(x \right)}}{4 \sin{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} \cot^{3}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}\right)
=
−1-1
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.05-5
Construir el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-1
−1-1
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))=−1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) = -1
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))=−1\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) = -1
lim⁡x→∞(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))=−π2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{\pi}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))=−π2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{\pi}{2}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))=−π+2cos⁡(1)tan⁡(1)2cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{- \pi + 2 \cos{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}{2 \cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))=−π+2cos⁡(1)tan⁡(1)2cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{- \pi + 2 \cos{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}{2 \cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /  x         pi   \
 lim  |------ - --------|
   pi \cot(x)   2*cos(x)/
x->--+                   
   2
lim⁡x→π2+(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) 
-1
−1-1 
= -1.0
      /  x         pi   \
 lim  |------ - --------|
   pi \cot(x)   2*cos(x)/
x->---                   
   2
lim⁡x→π2−(xcot⁡(x)−π2cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{x}{\cot{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2 \cos{\left(x \right)}}\right) 
-1
−1-1 
= -1.0
= -1.0
Respuesta numérica [src] 
-1.0
-1.0
Gráfico
Límite de la función x/cot(x)-pi/(2*cos(x))
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