Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(1 - 8 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}}{\log{\left(1 - 8 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}}{\log{\left(1 - 8 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(1 - 8 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x - \frac{1}{8}\right) \left(\left(4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4\right) \cos{\left(3 x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)} \tan{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{2}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)