Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/(-2+x)
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de (-4+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (2-sqrt(-3+x))/(-49+x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(cos(x/ dos))/tan(x/ dos)
- logaritmo de ( coseno de (x dividir por 2)) dividir por tangente de (x dividir por 2)
- logaritmo de ( coseno de (x dividir por dos)) dividir por tangente de (x dividir por dos)
- logcosx/2/tanx/2
- log(cos(x dividir por 2)) dividir por tan(x dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/x
- log(x)^(1/x)
- log(-1+x)
- log(1-7*x)/sin(pi*(7+x))
- log(1+x^2)
- Coseno cos
- cos(x)+sin(x)
- cos(x^(-2))
- cos(x)*log(x-a)/log(e^x-e^a)
- cos(x)*log(x)/x
- cos(x)^(pi/2-x)
- Tangente tan
- tan(x)/tan(3*x)
- tan(3*x)/(2*sin(x))
- tan(5*x)/sin(2*x)
- tan(4*x)/sin(x)
- tan(k*x)/x
Límite de la función log(cos(x/2))/tan(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / /x\\\
|log|cos|-|||
| \ \2//|
lim |-----------|
x->pi+| /x\ |
| tan|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Limit(log(cos(x/2))/tan(x/2), x, pi)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / /x\\\
|log|cos|-|||
| \ \2//|
lim |-----------|
x->pi+| /x\ |
| tan|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
0
$$0$$
= (0.00102748384065667 - 0.000420307490687127j)
/ / /x\\\
|log|cos|-|||
| \ \2//|
lim |-----------|
x->pi-| /x\ |
| tan|-| |
\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
0
$$0$$
= -0.0189087738920777
= -0.0189087738920777
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{1}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica
[src]
(0.00102748384065667 - 0.000420307490687127j)
(0.00102748384065667 - 0.000420307490687127j)