Sr Examen

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(-cot(x)+csc(x))/sin(x)
Límite de la función/ cot(x)/ csc(x)/ sin(x)/ (-cot(x)+csc(x))/sin(x)

Límite de la función (-cot(x)+csc(x))/sin(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /-cot(x) + csc(x)\
 lim |----------------|
x->0+\     sin(x)     /
lim⁡x→0+(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit((-cot(x) + csc(x))/sin(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(−cot⁡(x)+csc⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+sin⁡(x)=0\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−cot⁡(x)+csc⁡(x))ddxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(cot⁡2(x)−cot⁡(x)csc⁡(x)+1cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(cot⁡2(x)−cot⁡(x)csc⁡(x)+1cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
12\frac{1}{2}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010020000
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))=12\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{2}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{1}{2}
lim⁡x→∞(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))=−−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡2(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin^{2}{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))=−−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡2(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin^{2}{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/2
12\frac{1}{2}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /-cot(x) + csc(x)\
 lim |----------------|
x->0+\     sin(x)     /
lim⁡x→0+(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
     /-cot(x) + csc(x)\
 lim |----------------|
x->0-\     sin(x)     /
lim⁡x→0−(−cot⁡(x)+csc⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cot{\left(x \right)} + \csc{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
1/2
12\frac{1}{2} 
= 0.5
= 0.5
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5
Gráfico
Límite de la función (-cot(x)+csc(x))/sin(x)
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