Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- cot(pi*x)*log(uno +sin(pi*x))
- cotangente de ( número pi multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de (1 más seno de ( número pi multiplicar por x))
- cotangente de ( número pi multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de (uno más seno de ( número pi multiplicar por x))
- cot(pix)log(1+sin(pix))
- cotpixlog1+sinpix
-
Expresiones semejantes
- cot(pi*x)*log(1-sin(pi*x))
-
Expresiones con funciones
- Cotangente cot
- cot(2*x)^2*tan(3*x)^2
- cot(2*x)*tan(7*x)
- cot(pi*x/4)^tan(pi*x/2)
- cot(6*x)*tan(2*x)
- cot(4*x)^2
- Número Pi pi
- Piecewise((x,x<0),(-x,x<2),(0,True))
- pi*x*sin(pi/x)^2
- Piecewise((3+x^2+5*x,x<=-2),(-2+x^2,True))
- pi^4*sin(x)/((pi+x)*(pi-x))
- pi/cos(2*pi*x)
- Logaritmo log
- log(x)/log(1+x)
- log(log(x))
- log(sin(m*x))/log(sin(x))
- log(1+3*x)/x
- log(x)/(-1+x^2)
- Seno sin
- sin(3*x)/(2*x)
- sin(3*x)/sin(5*x)
- sin(x)/x^2
- sin(3*x)/(5*x)
- sin(4*x)/tan(2*x)
- Número Pi pi
- Piecewise((x,x<0),(-x,x<2),(0,True))
- pi*x*sin(pi/x)^2
- Piecewise((3+x^2+5*x,x<=-2),(-2+x^2,True))
- pi^4*sin(x)/((pi+x)*(pi-x))
- pi/cos(2*pi*x)
Límite de la función cot(pi*x)*log(1+sin(pi*x))
Solución
Ha introducido
[src]
lim (cot(pi*x)*log(1 + sin(pi*x))) x->1+
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Limit(cot(pi*x)*log(1 + sin(pi*x)), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)} \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)} \cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1\right) \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(\pi x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1}}{\frac{d}{d x} \left(- \frac{1}{\cot^{4}{\left(\pi x \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot^{3}{\left(\pi x \right)} - 4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \cot{\left(\pi x \right)}\right) \cot^{5}{\left(\pi x \right)}}{4 \pi \left(- \cot^{2}{\left(\pi x \right)} - 1\right) \left(\cot^{4}{\left(\pi x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(\pi x \right)} + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
lim (cot(pi*x)*log(1 + sin(pi*x))) x->1+
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1.06712731903182
lim (cot(pi*x)*log(1 + sin(pi*x))) x->1-
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\sin{\left(\pi x \right)} + 1 \right)} \cot{\left(\pi x \right)}\right)$$
-1
$$-1$$
= -1
= -1