Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\log{\left(x + 2 \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+} \sin^{2}{\left(\pi x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\log{\left(x + 2 \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 2 \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{\pi \log{\left(x + 2 \right)} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x + 2}}{2 \pi \sin{\left(\pi x \right)} \cos{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{- \frac{\pi \log{\left(x + 2 \right)} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x + 2}}{2 \pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{- \frac{\pi \log{\left(x + 2 \right)} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x + 2}}{2 \pi \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{1}{2 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)