Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- cuatro ^log(n)*atan(pi/n)
- 4 en el grado logaritmo de (n) multiplicar por arco tangente de gente de ( número pi dividir por n)
- cuatro en el grado logaritmo de (n) multiplicar por arco tangente de gente de ( número pi dividir por n)
- 4log(n)*atan(pi/n)
- 4logn*atanpi/n
- 4^log(n)atan(pi/n)
- 4log(n)atan(pi/n)
- 4lognatanpi/n
- 4^lognatanpi/n
- 4^log(n)*atan(pi dividir por n)
-
Expresiones semejantes
- 4^log(n)*arctan(pi/n)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(2*x)*log(-1+2*x)
- log(1+x^2-x)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
- log(x)/(1+2*log(x)*sin(x))
- Arcotangente arctan
- atan(3*x)*sin(3*x)/(x*(-1+(1-6*x)^(1/3)))
- atan(x)^3
- atan(n*x)
- atan(2*x)*sin(6*x)/(x*(-1+(1+9*x)^(1/3)))
- atan(x^2)/(asin(3*x)*sin(x/2))
- Número Pi pi
- pi*cos(x)/3
- Piecewise((-1-x,x<-1),((1+x)^2,x<=1),(x,True))
- pi-2*asin(x/5)
- pi*x*tan(3)^2*sin(5*pi*x)*tan(2*pi*x)/cos(7*pi*x)
- pi/(2*x*(1+x)*(2+x))
Límite de la función 4^log(n)*atan(pi/n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ log(n) /pi\\ lim |4 *atan|--|| n->oo\ \n //
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right)$$
Limit(4^log(n)*atan(pi/n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 4^{\log{\left(n \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 4^{\log{\left(n \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{\log{\left(n \right)}} n \left(1 + \frac{\pi^{2}}{n^{2}}\right) \log{\left(4 \right)} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{\log{\left(n \right)}} n \log{\left(4 \right)} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{4^{\log{\left(n \right)}} n \log{\left(4 \right)}}{\pi}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(1 + \frac{\pi^{2}}{n^{2}}\right) \left(\frac{4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(4 \right)}}{\pi} + \frac{4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(4 \right)}^{2}}{\pi}\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(\frac{2 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{\pi} + \frac{4 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\pi}\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(\frac{2 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{\pi} + \frac{4 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\pi}\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 4^{\log{\left(n \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 4^{\log{\left(n \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{\log{\left(n \right)}} n \left(1 + \frac{\pi^{2}}{n^{2}}\right) \log{\left(4 \right)} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4^{\log{\left(n \right)}} n \log{\left(4 \right)} \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{4^{\log{\left(n \right)}} n \log{\left(4 \right)}}{\pi}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(1 + \frac{\pi^{2}}{n^{2}}\right) \left(\frac{4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(4 \right)}}{\pi} + \frac{4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(4 \right)}^{2}}{\pi}\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(\frac{2 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{\pi} + \frac{4 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\pi}\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2} \left(\frac{2 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{\pi} + \frac{4 \cdot 4^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{\pi}\right) \operatorname{atan}^{3}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = \operatorname{atan}{\left(\pi \right)}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = \operatorname{atan}{\left(\pi \right)}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(2^{2 i \pi} \right)}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = \operatorname{atan}{\left(\pi \right)}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = \operatorname{atan}{\left(\pi \right)}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(4^{\log{\left(n \right)}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{n} \right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(2^{2 i \pi} \right)}$$
Más detalles con n→-oo